تاریخچه بزرگترین اعداد اول شناخته شده

جدول زیر تاریخچه بزرگترین اعداد اول شناخته شده به‌ترتیب سال پیدا شدن را نشان می‌دهد. در زیر M همان تابع مرسن است که به‌صورت $M_n=2^n-1$ تعریف می‌شود.

عدد	تعداد ارقام	سال (میلادی)
M_۱۲۷	۳۹	۱۸۷۶
۱۸۰×(M_۱۲۷)^۲ + ۱	۷۹	۱۹۵۱
M_۵۲۱	۱۵۷	۱۹۵۲
M_۶۰۷	۱۸۳	۱۹۵۲
M_۱۲۷۹	۳۸۶	۱۹۵۲
M_۲۲۰۳	۶۶۴	۱۹۵۲
M_۲۲۸۱	۶۸۷	۱۹۵۲
M_۳۲۱۷	۹۶۹	۱۹۵۷
M_۴۴۲۳	۱٬۳۳۲	۱۹۶۱
M_۹۶۸۹	۲٬۹۱۷	۱۹۶۳
M_۹۹۴۱	۲٬۹۹۳	۱۹۶۳
M_۱۱۲۱۳	۳٬۳۷۶	۱۹۶۳
M_۱۹۹۳۷	۶٬۰۰۲	۱۹۷۱
M_۲۱۷۰۱	۶٬۵۳۳	۱۹۷۸
M_۲۳۲۰۹	۶٬۹۸۷	۱۹۷۹
M_۴۴۴۹۷	۱۳٬۳۹۵	۱۹۷۹
M_۸۶۲۴۳	۲۵٬۹۶۲	۱۹۸۲
M_۱۳۲۰۴۹	۳۹٬۷۵۱	۱۹۸۳
M_۲۱۶۰۹۱	۶۵٬۰۵۰	۱۹۸۵
۳۹۱۵۸۱×۲^۲۱۶۱۹۳ − ۱	۶۵٬۰۸۷	۱۹۸۹
M_۷۵۶۸۳۹	۲۲۷٬۸۳۲	۱۹۹۲
M_۸۵۹۴۳۳	۲۵۸٬۷۱۶	۱۹۹۴
M_{۱۲۵۷۷۸۷}	۳۷۸٬۶۳۲	۱۹۹۶
M_{۱۳۹۸۲۶۹}	۴۲۰٬۹۲۱	۱۹۹۶
M_{۲۹۷۶۲۲۱}	۸۹۵٬۹۳۲	۱۹۹۷
M_{۳۰۲۱۳۷۷}	۹۰۹٬۵۲۶	۱۹۹۸
M_{۶۹۷۲۵۹۳}	۲٬۰۹۸٬۹۶۰	۱۹۹۹
M_{۱۳۴۶۶۹۱۷}	۴٬۰۵۳٬۹۴۶	۲۰۰۱
M_{۲۰۹۹۶۰۱۱}	۶٬۳۲۰٬۴۳۰	۲۰۰۳
M_{۲۴۰۳۶۵۸۳}	۷٬۲۳۵٬۷۳۳	۲۰۰۴
M_{۲۵۹۶۴۹۵۱}	۷٬۸۱۶٬۲۳۰	۲۰۰۵
M_{۳۰۴۰۲۴۵۷}	۹٬۱۵۲٬۰۵۲	۲۰۰۵
M_{۳۲۵۸۲۶۵۷}	۹٬۸۰۸٬۳۵۸	۲۰۰۶
M_{۴۳۱۱۲۶۰۹}	۱۲٬۹۷۸٬۱۸۹	۲۰۰۸
M_{۵۷۸۸۵۱۶۱}	۱۷٬۴۲۵٬۱۷۰	۲۰۱۳

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:تاریخچه بزرگترین اعداد اول شناخته شده,

ساعت 23:57 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

بزرگترین عدد اول شناخته شده

گراف تعداد ارقام در بزرگترین عدد اول شناخته شده بر حسب سال از زمان به‌وجود آمدن رایانه‌های الکترونیکی. توجه کنید که مقیاس‌های عمودی لگاریتمی هستند.

بزرگترین عدد اول شناخته شده، بزرگترین عدد صحیحی می‌باشد که می‌دانیم عددی اول است.

اقلیدس ثابت کرد که بینهایت عدد اول وجود دارد، بنابراین همیشه عدد اولی بزرگتر از بزرگترین عدد اول شناخته شده وجود دارد.

بسیاری از ریاضی‌دانان و محققین تفننی سرگرم جستجوی بزرگترین عدد اول شناخته شده هستند؛ این ممکن است مفید نیز باشد چرا که جایزه‌هایی به وسیله بنیاد مرز الکترونیک برای کشف اعداد اول ارائه شده‌است.

از آنجایی که اجرای FFT آزمون لوکاس-لمر برای اعداد مرسن سریعتر از هر آزمون دیگری برای انواع دیگر اعداد اول است، بسیاری از بزرگترین اعداد اول شناخت شده عدد اول مرسن هستند؛ در میان ۱۰ بزرگترین عدد اول شناخته شده تا دسامبر ۲۰۰۷ ۶ عدد جزو اعداد مرسن بودند. آخرین ۱۳ عدد اولی که کشف شده‌اند عدد اول مرسن بودند.

استفاده از کامپیوترهای الکترونیکی کشف‌ها را شتاب بخشیده و به طوری که همهٔ اعداد اول کشف شده از ۱۹۵۱ تا کنون به وسیلهٔ این کامپیوترها کشف شده‌اند. تعداد ارقام بزرگترین عدد اول شناخته شده در سال ۱۹۹۹ از مرز یک میلیون گذشت و باعث دریافت جایزه‌ای ۵۰٬۰۰۰ دلاری شد.

در ژانویه سال ۲۰۱۳ میلادی بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده تا کنون که ۱۷٫۴۲۵٫۱۷۰ رقم دارد، توسط پروژهٔ GIMPS کشف شد:

۲^{۵۷٫۸۸۵٫۱۶۱} - ۱

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:بزرگترین عدد اول شناخته شده,

ساعت 23:35 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

اعداد اول

کشف و محاسبه

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ۵۷میلیون و ۸۸۵هزار و ۱۶۱منهای یک است. این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است.

جایزه‌ها برای پیدا کردن اعداد اول

موسسه Electronic Frontier Foundation جایزه‌ای به مبلغ صدهزار دلار برای اولین کسی که یک عدد اول با حداقل ۱۰ میلیون رقم پیدا کند در نظر گرفته است. همچنین مبلغ ۱۵۰ هزار دلار برای کسی که یک عدد اول با ۱۰۰ میلیون رقم و ۲۵۰ هزار دلار برای ۱ میلیارد رقم در نظر گرفته شده است. این موسسه ممکن است مبلغ ۱۰۰ هزار دلار برای دپارتمان ریاضی دانشگاه UCLA که موفق به کشف یک عدد اول ۱۳ میلیون رقمی شدند پرداخت کند.

الگوهای توزیع اعداد اول

یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.

مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی‌ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید.

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:کشف و محاسبه عدد اول,جایزه ها برای پیداکردن اعداد اول,الگو های توزیع اعداد اول,

ساعت 23:56 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول

قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول است. این قضیه بیان می‌کند به ازای هر عدد اول مانند $\; p$ داریم $\;(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$

این قضیه دوشرطی است بنابراین راهی برای تشخیص اعداد اول از مرکب است یعنی:

برای هر عدد صحیح x اگر رابطه زیر برقرار باشد آنگاه x عددی اول است در غیر این صورت x عددی غیر مرکب است.

$\;$ $\;(x-1)! \equiv -1 \pmod{x}$

این قضیه تعمیم‌هایی به شکل زیر دارد:

تعمیم گاوس: کارل فریدرش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m>۲ عدد اول p

$\prod_{k = 1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m} \!\!k \ \equiv \begin{cases} -1 \pmod{m} & \text{if } m=4,\;p^\alpha,\;2p^\alpha \\ \;\;\,1 \pmod{m} & \text{otherwise} \end{cases}$

در اینجا $\alpha$ عددی صحیح و مثبت است.

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:عدد اول,قضیه ویلسون,راهی برای تشخیص اعداد اول,

ساعت 23:25 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

عدد اول

عدد اول

عددی طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که بر هیچ عددی بجز خود و ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است.

رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.

پیدا کردن رابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.

دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:

۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳،۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹

غربال اراتوستنس الگوریتمی ساده و قدیمی برای یافتن همهٔ اعداد اول تا عدد صحیح برگزیده است. این الگوریتم پیش از غربال آتکین، که سریع‌تر و پیچیده‌تر بود، مورد استفاده قرار می‌گرفت. غربال اراتوستنس رااراتوستنس، ریاضیدان یونان باستان در قرن سوم پیش از میلاد ابداع کرد.

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:عدد اول,الگوریتم غربال اراتوستنس,

ساعت 23:17 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

آخرین نوشته ها

دسته بندی ها

جستجو

لینک های روزانه

آرشیو

برچسب ها

لینک دوستان

mathroom